|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
Содержание.
1. Введение 2
2. I. Краткий исторический очерк 3
3. II. Поле алгебраических чисел 4
4. 2.1. Понятие числового поля 4
5. 2.2. Алгебраическое число 5
6. 2.3. Поле алгебраических чисел 11
7. III. Рациональные приближения алгебраических чисел 14
8. 3.1 Теорема Лиувиля 14
9. 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля 16
10. Заключение 18
Курсовая по алгебре
Тема: "Алгебраические числа"
Введение.
Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+...+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
I. Краткий исторический очерк.
Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b - обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.
В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.
II. Поле алгебраических чисел.
2.1 Понятие числового поля
Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.
Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М.
Пример:
1) N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. (a, b(N (( (a+b) (N.
В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:
5, 7 (N, но 5-7=-2 (N,
3, 2(N, но 3:2=1,5 (N
2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
3) Множество чисел вида 2к, к(N, замкнуто относительно умножения и деления.
2к(2l=2k+l
2к:2l=2k-l
В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.
Рассмотрим один их классов, называемых полем.
Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Последнее означает, что для любых a, b (M, должно иметь место a+b, a-b, a*b (M. Так же для любого a(M и любого b(0 из М, должно выполняться a:b(M.
Пример:
Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:
1) поле всех рациональных чисел;
2) поле всех вещественных чисел;
3) поле всех комплексных чисел.
Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.
Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.
2.2 Определение алгебраического числа.
Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.
Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0
(a0, a1, ... ,an(Z; an(0),
т.е. выполняется:
anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0=0
Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.
В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, ... ,an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.
К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, q(N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.
Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, q(N) является корнем уравнения:
qxn-p=0.
Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.
Пример:
1) Чиcло z= является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+2+3. Отсюда z2-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:
x4-10x2+1=0
2) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b - рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.
, (p, q, (N).
Из равенства , получаем: . Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:
все коэффициенты которого целые числа.
В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.
Из f(x)=0 следует f(z)((x)=0, где в качестве ((x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.
Определение 4: Число n называется степенью