|
|
|
|
6. Аксиоматика точечно-векторного евклидова пространства
6.1. Метрические соотношения в треугольнике
Теорема 18.5. (теорема косинусов для треугольника).
Во всяком треугольнике
,
,
.
Доказательство:
Рассмотрим векторное равенство . Возьмем скалярный квадрат:
,
,
.
Пусть - единичный вектор, отложенный от точка А на луче [АВ), - единичный вектор, отложенный от точки А на луче [АС). Тогда
.
Отсюда
,
.
Аналогично устанавливаются остальные две формулы теоремы косинусов для треугольника.
Следствие. В треугольнике две стороны конгруэнтны тогда и только тогда, когда лежащие против них углы конгруэнтны.
Доказательство:
I. Пусть . Докажем, что .
Имеем
.
II. Пусть . Докажем, что . Выполним следующие преобразования
- ,
,
,
,
.
Докажем, что ; то ;
, но для треугольника .
Таким образом,
.
Теорема 18.6.
, (1)
(2)
(3)
Доказательство:
Докажем равенство (1). Рассмотрим равенство: . Умножим его скалярно на :
, или так как , то
, или
, это и есть равенство (1).
Аналогично устанавливается остальные соотношения.
Следствие 2. Если один из углов в треугольнике тупой, то два других острые.
Доказательство:
Пусть - прямой, то есть .
Имеем:
,
.
Тогда:
- острый,
- острый.
Следствие 3. В треугольнике более одного тупого угла быть не может.
Доказательство:
Пусть - тупой угол, то есть .
Тогда - острый.
Аналогично устанавливается, что - острый.
Определение 18.6. Треугольник называется прямоугольным, если он имеет прямой угол.
Теорема 18.7. (теорема Пифагора). Если в - прямой, то .
Доказательство:
Имеем: .
Так как - прямой, то .
Тогда .
Теорема 18.8. (обратная теорема 18.7). Если в , то этот треугольник прямоугольный.
Доказательство получается в результате проведения предыдущих рассуждений в обратном порядке.
Следствие 4. В прямоугольном треугольнике каждый катет меньше гипотенузы.
Доказательство:
Пусть , тогда имеем:
,
.
Так как углы С и В острые, то и .
Отсюда и .