|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
Министерство Высшего Образования РФ.
Московский Институт Электронной Техники
(Технический Университет)
Лицей ?1557
КУРСОВАЯ РАБОТА
"Вычисление интеграла методом
Ньютона-Котеса"
Написал: Коноплев А.А.
Проверил: доцент Колдаев В.Д.
Москва, 2001г.
1. Введение..................................................................................... 3
2. Теоретическая часть...................................................................4
3. Алгоритм работы........................................................................8
4. Код программы.........................................................................17
* Модуль K_graph............................................................17
* Модуль Graphic.............................................................34
* Модуль K_unit...............................................................38
* Основная программа....................................................40
5. Тестовые испытания.................................................................42
6. Полезные советы по работе с программой.............................42
7. Окна ввода и вывода программы.............................................
8. Вывод..........................................................................................43
9. Список литературы...................................................................44
Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона - поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один??
Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.
Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции:
(i=1,2,3...,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:
X0=a
X1
X2
...
XN=b
Y0=f(x0)
Y1=f(x1)
Y2=f(x2)
...
YN=f(xN)
Требуется найти значение интеграла .
Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:
Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:
где q=(x-x0)/h - шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:
Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:
Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:
Положим, что
где i=0,1,2...,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n. Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:
Теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: , при n=7.
Вычисление.
1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1.
2)Найдем значения y:
x0=0
y0=1
x1=1
y1=0.5
x2=2
y2=0.2
x3=3
y3=0.1
x4=4
y4=0.0588
x5=5
y5=0.0384
x6=6
y6=0.0270
x7=7
y7=0.02
3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса:
H1=H7=0.0435, H1=H6=0.2040, H2=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730
Подставим значения в формулу и получим:
При подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:
Пример 2.
Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса
, взяв n=5;
Вычисление:
1) Определим шаг h=(8-4)/5=0.8
2) Найдем значения y:
x0=0
y0=-2.61
x1=4.8
y1=0.42
x2=5.6
y2=4.34
x3=6.4
y3=6.35
x4=7.2
y4=4.38
x5=8
y5=-0.16
3) Находим коэффициенты Ньютона -Котеса:
H0=H5=0.065972 ;H1=H4=0.260417 ;H2=H3=0.173611 ;
4)Подставим значения в формулу и получим:
Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса.
Пусть n=1 тогда
H0=H1=0.5 и конечная формула примет вид:
Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций.
Взяв n=3, мы получим
. Частный случай формулы Ньютона -Котеса - формула Симпсона
Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы.
Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef.
Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:
А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q
(процедура mnogoclen)
Б) домножить их на 1/n , где n -степень при q (процедура koef)
В) подставить вместо q значение n (функция integral)
Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.
Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);
Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);
Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );
Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);
Функция facktorial(n:целый):двойной;
Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;
Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;
Основная программа
Программа состоит из 8 файлов:
* K_main.exe - файл загрузки основной программы
* K_unit.tpu - модуль вычислительных процедур и функций
* K_graph.tpu - модуль графических процедур
* Graphic.tpu - модуль процедур для построения графика
* Egavga.bgi - файл графической инициализации
* Sans.chr, litt.chr - файлы шрифтов
* Keyrus.com (не обязательно) - файл установки русского языка.
Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.
================================================
==========МОДУЛЬ GRAPH==========
================================================
{$N+}
unit k_graph;