|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
Содержание.
1. Введение. Постановка задачи......................................2стр.
2. Вывод формулы.......................................................3стр.
3. Дополнительный член в формуле прямоугольников..........5стр.
4. Примеры.................................................................7стр.
5. Заключение..............................................................9стр.
6. Список литературы...................................................10стр.
Постановка задачи.
Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.
Вывод формулы прямоугольников.
Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:
З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а
- некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка такая, что среднее арифметическое .
В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим
Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка такая, что
.
Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.
Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле
(1)
где , а R - дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или - если угодно - определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.
(рис.1)
На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде
.
Дополнительный член в формуле прямоугольников.
Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.
Справедливо следующее утверждение:
У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка
, что дополнительный член R в формуле (1) равен
(2)
Доказательство.
Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:
Для первого из этих интегралов получим
Для второго из интегралов аналогично получим
Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:
(3)
Оценим величину , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте
[0 ,h] такие, что
В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что
Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:
Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что
(4)
где
. (5)
Так как величина представляет собой площадь некоторого прямоугольника с основанием (рис.1), то формулы (4) и (5) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене указанной площадью, имеет порядок
Таким образом, формула тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла естественно представить это интеграл в виде суммы достаточно большого числа n интегралов
И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента равна , мы получим формулу прямоугольников (1), в которой
Здесь . Мы воспользовались формулой, доказанной в утверждении, для функции
Примеры вычисления определённых интегралов
по формуле прямоугольников.
Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.
П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл .
По формуле Ньютона-Лейбница, получим
Теперь применим формулу прямоугольников
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
Сумма .
Таким образом, .
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.
П р и м е р 2. Вычислим интеграл с точностью до 0,001.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим .
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
Так как для имеем (если ), то
Если взять n=10, то дополнительный член нашей формулы будет Нам придётся внести ещё погрешность, округляя значения функции; постараемся, чтобы границы этой новой погрешности разнились меньше чем на С этой целью достаточно вычислять значение функции с четырьмя знаками, с точностью до 0,00005. Имеем:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10.
Сумма 6,9284.
.
Учитывая, что поправка к каждой