|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
М?н?стерство Осв?ти Укра?ни
Одеський державний ун?верситет
?м. ?.?.Мечн?кова
?нститут математики, економ?ки та механ?ки
Атом?чн? розкладення функц?й
у простор? Хард?
Дипломна робота
студентки V курсу
факультету математики
Семенцовой В.А.
Науковий кер?вник
Вартанян Г.М.
Одеса - 2000
Содержание
Введение.................................................................................... 3
Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и
пространствах , и ................................. 8
I.1. Интеграл Пуассона..................................................... 8
I.2. Пространства ....................................................... 12
I.3. Пространства и ......................................... 17
I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная
максимальная функция............................................... 22
Глава II. Атомические разложения функции в пространстве
, пространство ВМО........................................ 26
II.1. Пространство , критерий принадлежности
функции из пространству ....................... 26
II.2. Линейные ограниченные функционалы на ,
двойственность и ВМО.................................. 32
Литература.................................................................................. 37
Введение.
Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства , , и , раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов.
Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств , , , а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из пространству и двойственность пространств и .
В работе мы рассматриваем случай периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл:
- пространство периодических, непрерывных на функций;
- пространство периодических, бесконечно дифференцируемых на функций;
- пространство периодических, суммируемых в степени р на функций, т.е.для которых , ;
- пространство периодических ограниченных на функций;
- носитель функции .
В I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции называется функция
(r ( x ) = ,
где , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.
Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств:
а) ;
б) ;
в) для любого (>0
Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона при :
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство
;
если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:
Определение1. Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества.
Определение2. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической в области , если и удовлетворяет уравнению Лапласа:
.
Определение3. Две гармонические функции и , связанные условиями Коши-Римана : , , называются гармонически сопряженными функциями.
Определение4. Под нормой пространства понимается
, .
Определение5. Под нормой пространства понимается
, .
Определение6. Пусть ( или ,). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции определяется равенством
, .
(, ).
Определение7. Последовательность функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции , если для почти всех , т.е. множество тех точек , в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.
В I.2 мы рассматриваем пространства - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма
.
Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию () можно предсавить в виде
, , ,
где для п.в. , при этом
;
.
Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях:
Определение8. Говорят, что действительная функция , заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная , что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками выполнено неравенство .
Определение9. Действительная функция , заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого найдется число такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов , с суммой длин, меньшей : , выполняется неравенство .
В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств и . Пространство () представляет собой совокупность тех функций , , которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из, т.е. представимы в виде (). Здесь мы получаем следующие результаты: при пространство совпадает с , а при р=1 уже, чем , и состоит из функций , для которых и .
В I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции , аналитической в круге с нулями , () с учетом их кратности:
,
где - кратность нуля функции при .
Здесь доказывается, что каждая функция представима в виде
, где не имеет нулей в круге и , ,а - произведение Бляшке функции .
Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть , , - произвольное число. Обозначим через , , область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки к окружности , и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при вырождается в радиус единичного круга). Для положим
, ,
где - интеграл Пуассона функции . Функция называется нетангенциальной максимальной функцией для .
Тут же мы доказываем теорему об оценке : если (), , то и .
Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом.
Во второй главе два параграфа.
В II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет