|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
1. БЭТА-ФУНКЦИИ 6
Бэта - функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
= (1.1)
сходятся при .Полагая =1 - t получим:
= - =
т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
= (1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
(1.3)
при целых = m,= n,имеем
но B(1,1) = 1,следовательно:
Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то
8
и в результате подстановки ,получаем
полагая в(1.1) ,откуда ,получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим
=
2. ГАММА-ФУНКЦИЯ 9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
((a) = (2.1)
сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем
((a) =
и после замены , через и t через 1+t ,получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:
10
откуда
(2.2)
заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
но при целом имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем
3. ПРОИЗВОДНАЯ ГАММА ФУНКЦИИ 11
Интеграл
сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.
В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл :
12
сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
.
Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение - функции и построим ?скиз ее графика .
Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .
14
Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .
Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .
Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .
15
(рис.1)
4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ. 16
ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0,достаточно положить
17
Интеграл
Где s > 0,разложить в ряд
=
где дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(3.2)
Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию
19
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
(3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
полагая ,имеем
Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)
20
имеем
,