|
|
|
|
Учебный материал
РОССИЙСКОЙ КОЛЛЕКЦИИ РЕФЕРАТОВ (с) 1996
http://referat.students.ru; http://www.referats.net; http://www.referats.com
Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)
Лекции по
1 курс
Москва 2000
Лекция 1
Множество. Алгебра множеств.
Введем обозначения.
R - множество действительных чисел.
X e R - элемент X принадлежит множеству R.
Равные множества - множества, состоящие из одинаковых элементов.
A = B - множество А равно множеству B.
0 - пустое множество.
A<= C - Множество А является подмножеством множества С.
Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).
Если A <= C и C <= А, то А = С.
Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.
Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n - число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.
У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).
У множества иррациональных чисел мощность - континиум. Обозначается (С).
Основное правило комбинаторики (показано на примере)
Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую - m, третью - k. Всего способов раскраски палочки - n*m*k.
Аналогично с множествами
U = {a1,a2... an-1, an}
Пусть U = {a1, a2, a3}
Выпишем множество всех подмножеств множества U.
P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}.
Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.
Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.
Операции над множествами
1. Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.
2. Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.
3. Дополнение множества А. (С = А ) - не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А.
Свойства операций над множествами.
1. A U B = B U A - коммутативность
. A n B = B n A
2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C - ассоциативность.
3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) - дистрибутивность.
4. Поглощение A U A = A, A n A = A.
5. Существование универсальных границ.
А U 0 = A
A n 0 = 0
A u U = U
A n U = A
6. Двойное дополнение
A = A
7. A U A = U
A n A = 0
8. Законы двойственности или закон Де - Моргана
(AUB) = A n B
(AnB) = A U B
Лекция 2
Теория булевых функций. Булева алгебра.
Определение.
Множество M с двумя введенными бинарными операциями (& V), одной унарной операцией (*) и двумя выделенными элементами называется булевой алгеброй, если выполнены следующие свойства (аксиомы булевой алгебры). Названия операций пока не введены.
1. X & Y = Y&X, X V Y = Y V X - коммутативность.
2. (X & Y) & Z = X & (Y & Z), (X V Y) V Z = X V (Y V Z) - ассоциативность.
3. (X V Y) & Z = (X & Z) V (Y & Z), (X & Y) V (Y & Z) = (X V Z) & (Y & Z) - дистрибутивность.
4. Поглощение - X & X = X, X V X = X.
5. Свойства констант
X & 0 = 0
X & I = X, где I - аналог универсального множества.
6. Инвальтивность (X*)* = X
7. Дополнимость X V X* = I, X & X* = 0.
8. Законы двойственности - (X & Y)* = X* V Y*, (X V Y)* = X* & Y
Булева алгебра всех подмножеств данного множества.
U = {a1, a2... an)
[U] = N
[P(U)] = 2n
Легко показать, что свойства операций над множествами совпадают со свойствами (аксиомами) булевой алгебры. То есть, множество P(U) с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй.
Oбъединение эквивалентно V, пересечение - &, дополнение - *, пустое множество - 0, а универсальное - I.
Все аксиомы булевой алгебры справедливы в операциях над множествами.
Булева алгебра характеристических векторов.
Пусть A <= U, A <- P(U) ??- характеристический вектор этого подмножества.
?A = {??, ?2 ..?n)
n = [P(U)]
?i = 1, если ai <- A (принадлежит).
?i = 0, если ai не принадлежит A.
U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}
A = {2 4 6 8}
B = {1 2 7}
?A = {0 1 0 1 0 1 0 1 0}
?B = {1 1 0 0 0 0 1 0 0}
или
?A = 010101010 - скобки не нужны
?A= 110000100
Характеристические векторы размерностью n называются булевыми векторами.
Они располагаются в вершинах n - мерного булева куба.
Номером булевого вектора является число в двоичном представлении, которым он является
1101 - номер.
Два булевых вектора называются соседними, если их координаты отличаются только в одном разряде (если они отличаются только одной координатой).
Совокупность всех булевых векторов размерности n называется булевым кубом размерностью Bn.
Булев куб размерности 1
Булев куб размерности 2
Булев куб размерности 3
0 - нулевой вектор.
I - вектор из одних единиц.
XY
X&Y
X V Y
00
0
0
01
0
1
10
0
1
11
1
1
Отрицание
X = 0 Y = 0
_ _
Х = 1 Y= 1
Для размерности n операции над векторами производятся покоординатно.
Логическая сумма двух векторов - вектор, координаты которого являются логическими суммами соответствующих исходных векторов. Аналогично определено произведение.
Утверждение
Между множеством всех подмножеств множества U и булевым кубом Bn, где n= =[U] можно установить взаимное соответствие, при котором операции объединения множества соответствует операции логического сложения (их характеристических векторов), операции пересечения множеств соответствует операция логического умножения их характеристических векторов, а операции дополнения - операция отрицания. Пустому множеству соответствует нулевой вектор, а универсальному - единичный.
Следствие
Множество всех характеристических векторов является булевой алгеброй.
Булева алгебра высказываний (алгебра логики)
Высказыванием об элементах множества U называется любое утверждение об элементах множества U, которое для каждого элемента либо истинно, либо ложно.
U = {1 2 3 4 5 6 7 8 9}
A = "число четное"
B = "число, меньшее пяти"
Множеством истинности высказывания называется совокупность всех элементов, для которых это высказывание истинно.
SA = {2 4 6 8}
SB = {1 2 3 4}
Высказывание, для которого множество истинности пусто, называется тождественно ложным, а для которого SB = U называется тождественно истинным.
Высказывания, для которых множества истинности совпадают, называются тождественными или равносильными.
Равносильные высказывания объединим в один класс Р.В. и не будем их разделять, т.к. все они имеют одно и то же множество истинности.
Операции над высказываниями
Дизъюнкция высказываний (V, ИЛИ, OR)
Дизъюнкция высказываний - высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.
Конъюнкция высказываний (&, И, AND).
Конъюнкцией высказываний называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны все высказывания.
Отрицание высказываний (- над буквой, НЕ, NOT).
Отрицанием высказывания называется высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно.
A B
A &