|
|
|
|
Исследование влияния нежесткостей элементов гиростабилизатора на его устойчивость.
Анализ устойчивости ГС с нежесткими наружной рамой, креплением статора двигателя стабилизации к раме, с нежесткими редуктором и связью платформы с объектом стабилизации, проводим основываясь на следующей физической модели:
Рис. 1.
здесь Ji - момент инерции i-го элемента;
Ci,j - коэффициент упругости;
Di,j - коэфф. демпфирования между i и j
элементами;
K - коэффициент передачи цепи обратной
связи.
Оценку влияния каждого из входящих в модель элементов (Ji,Ci,j,Di,j) выполняем на основе анализа поведения ЛАХ разомкнутой системы, при вариациях Ji,Ci,j,Di,j.
Уравнения движения каждого из элементов модели в общем виде могут быть представлены следующим образом:
Ji(xi''+Di-1,i((xi'-xi-1')-Di,i+1((xi+1'-xi')+Ci-1,i( (xi-xi-1)-Ci,i+1((xi+1 - xi) = Мi (1)
где Мi - внешний момент действующий на i-й элемент;
xi,xi', xi''- перемещение, скорость и ускорение i-го
элемента.
Расписав уравнение (1) для каждого элемента, получим следующюю систему уравнений движения модели:
J1(x1''+D01((x1'-x0')-D12((x2'-x1')+C01((x1-x0)-C12((x2-x1)= М1
J2(x2''+D12((x2'-x1')-D23((x3'-x2')+C12((x2-x1)-C23((x3-x2)= М2
J3(x3''+D23((x3'-x2')-D34((x4'-x3')+C23((x3-x2)-C34((x4-x3)= М3 (2)
J4(x4''+D34((x4'-x3')-D45((x5'-x4')+C34((x4-x3)-C45( (x5-x4)= М4
J5(x5''+D45((x5'-x4')-D56((x6'-x5')+C45((x5-x4)-C56((x6-x5)= М5
Раскрыв в (2) скобки и преобразовав получаем следующий вид уравнений движения модели.
-D01(x0'-C01(x0+J1(x1''+(D01+D12)(x1'+(C01+C12)(x1-D34(x2'-
-C12(x2= М1
-D12(x1'-C12(x1+J2(x2''+(D23+D12)(x2'+(C12+C23)(x2-D23(x3'-
-C23(x3= М2
-D23(x2'-C23(x2+J3(x3''+(D23+D34)(x3'+(C23+C34)(x3-D34(x4'-
-C34(x4=М3 (3)
-D34(x3'-C34(x3+J4(x4''+(D34+D45)(x4'+(C34+C45)(x4-D45(x5'-
-C45(x5= М4
-D45(x4'-C45(x4+J5(x5''+(D45+D56)(x5'+(C45+C56)(x5-D56(x6'-
-C56(x6= М5
Переписав (3) в операторной форме получаем уравнения движения модели в следующем виде.
-(D01(s+C01)(x0+(J1(s2+(D01+D12)(s+(C01+C12))(x1 -
-(D12(s+C12)(x2= М1
-(D12(s+C12)(x1+(J2(s2+(D12+D23)(s+(C12+C23))(x2-
-(D23(s+C23)(x3= К(x4
-(D23(s+C23)(x2+(J3(s2+(D23+D34)(s+(C23+C34))(x3-
-(D34(s+C34)(x4=-К(x4
-(D34(s+C34)(x3+(J4(s2+(D34+D45)(s+(C34+C45))(x4-
-(D45(s+C45)(x5= М4 (4)
-(D45(s+C45)(x4+(J5(s2+(D45+D56)(s+(C45+C56))(x5-
-(D56(s+C56)(x6= М5
Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы по управляющему воздействию Wp(s) составим два определителя: главный - (, и характеризующий входное воздействие (1, с учетом того, что x0=0; D56=0; C56=0; C23=0.
a11 a12 0 0 0
a21 a22 a23 0 0
(= 0 a32 a33 a34 0 (5)
0 0 a43 a44 a45
0 0 0 a54 a55
где a11 = J1(s2+(D01+D12)(s+C01+C12
a12 = -D12(s-C12
a21 = a12
a22 = J2(s2+(D12+D23)(s+C12
a23 = -D23(s
a32 = a23
a33 = J3(s2+(D23+D34)(s+C34
a34 = -D34(s-C34
a43 = a34
a44 = J4(s2+(D34+D45)(s+C34+C45
a45 = -D45(s-C45
a54 = a45
a55 = J5(s2+D45(s+C45
a11 a12 0 0 0
a21 a22 a23 -K(x4 0
(1= 0 a32 a33 K(x4 0 (6)
0 0 a43 0 a45
0 0 0 0 a55
Передаточная функция разомкнутой системы определяется как:
(1 -K((b7(s7+....+b1(s+b0)(x4
Wp(s) = = (7)
((x4 s((a9(s9+....+a1(s+a0)(x4
Коэффициенты ai, bi полиномов числителя и знаменателя передаточной функции Wp(s) выражаются через параметры элементов модели следующим образом:
(8)
a9=J1J2J3J4J5
a8=D01J2J3J4J5+D12J3J4J5(J1+J2)+J1(D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))
a7=C01J2J3J4J5+C12J3J4J5(J1+J2)+C34J1J2(J3J5+J4J5)+C45J1J2J3(J4+J5)+D01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+D12(D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+J1(D23(D34J5(J2+J3+J4)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))
a6=C01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C12(D01J3J4J5+D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C34(D01J2(J3J5+J4J5)+D12J5(J3+J4)(J1+J2)+J1(D23J5(J2+J3+J4)+D45J2(J3+J4+J5)))+C45(D01J2J3(J4+J5)+D12J3(J4+J5)(J1+J2)+J1(D23(J4+J5)(J2+J3)+D34J2(J3+J4+J5)))+D01(D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34D45J1(J2+J3+J4+J5)
a5=C01(C12J3J4J5+C34J2(J3J5+J4J5)+C45J2J3(J4+J5)+D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+C12(C34J5(J3+J4)(J1+J2)+C45J3(J4+J5)(J1+J2)+D01(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C34(C45J1J2(J3+J4+J5)+D01(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D45J1(J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5)
a4=C01(C12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+C34(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+C45(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+C12(C34(D01(J3J5+J4J5)+D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C45(D01J3(J4+J5)+D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D01(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C34(C45(D01J2(J3+J4+J5)+D12(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D23J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D34D45
a3=C01(C12(C34(J3J5+J4J5)+C45J3(J4+J5)+D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+C34(C45J2(J3+J4+J5)+D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+C45(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45)+C12(C34(C45(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D01(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D34D45)+C34(C45(D01(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D45)+C45D01D12D23D34
a2=C01(C12(C34(D23J5+D45(J3+J4+J5))+C45(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34D45)+C34(C45(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45)+C45D12D23D34)+C12(C34(C45(D01(J3+J4+J5)+D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D45)+C45D01D23D34)+C34C45D01D12D23
a1=C01(C12(C34(C45(J3+J4+J5)+D23D45)+C45D23D34)+C34C45D12D23)+C12C34C45D01D23
a0=C01C12C34C45D23
b7=D34J1J2J5
b6=(C34J1J2J5+D34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2))
b5=(C01D34J2J5+C12D34J5(J1+J2)+C34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2)+C45D34J1J2+D34(D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2)))
b4=(C01(C34J2J5+D12D34J5+D34D45J2)+C12(C34J5(J1+J2)+D01D34J5+D34D45(J1+J2))+C34(C45J1J2+D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2))+C45D34(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D34D45)
b3=(C01(C12D34J5+C34(D12J5+D45J2)+C45D34J2+D12D34D45)+C12(C34(D01J5+D45(J1+J2))+C45D34(J1+J2)+D01D34D45)+C34(C45(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D45)+C45D01D12D34)
b2=(C01(C12(C34J5+D34D45)+C34(C45J2+D12D45)+C45D12D34)+C12(C34(C45(J1+J2)+D01D45)+C45D01D34)+C34C45D01D12)
b1=(C01(C12(C34D45+C45D34)+C34C45D12)+C12C34C45D01)
b0=C01C12C34C45