|
|
|
|
Лекцiя
Тема:Абсолютна величина дiсного числа.Властивостi абсолютних величин.
Змiннi i сталi величини.Функцiя.Парнiсть,непарнiсть,перiодичнicть,моно-
тоннicть.Складна функцiя.Класифiкацiя функцiй.Перетворення графiкiв.
ПИТАННЯ.
1.Дiйснi числа.Абсолютна величина (модуль) дiйсного числа.Властивостi
абсолютних величин.
2.Сталi i змiннi величини.Iнтервали (-окрестнiсть.
3.Означення функцii ,область означення,множина значень функцii.Способи
завдання функцii.Складна функцiя.
4.Парнiсть,непарнiсть функцii.Зростаючи i спадаючи функцii.Обмеженi функцii.
Периодичнi функцii.
5.Класифiкацiя функцiй.
6.Перетворення грификiв.
ОЗНАЧЕННЯ.Абсолютною величиною (або модулем) дiйсного числа x (познача?ться |x|) назива?ться невiд'?мне дiйсне число,задовольняюче умовам:
| Х, якщо Х>0
|X|= <-Х,якщо Х<0
| 0,якщо Х=0
Властивостi абсолютних величин.
1.Абсолютна величина алгебра?чно? суми декiлькох дiйсних чисел на бiльше суми алгебра?чних величин доданкiв:
|х+y|(|х|+|у|
ДОВЕДЕННЯ.
Нехай х+у(0,тодi |х+у|=х+у(|х|+|у| (поскiльки х(|х| i у(|у|)
Нехай х+у<0,тодi |х+у|= -(х+у)= -х+(-у)(|х|+|у| що i п.б.д.
Приведене доведення поширю?ться на будь-яке число доданкiв.
2.Абсолютна величина рiзницi не менш нiж рiзниця абсолютних величин зменьшуваного i вiд'?мника:
|х-у|(|х|-|у|, |х|>|у|
ДОВЕДЕННЯ:
Покладемо х-у=z,тодi х=у+z i по доведеному в пунктi 1
|х|=|у+z|(|у|+|z|=|у|+|х-у|
Звiдки |х|-|у|(|х-у| що i т.б.д.
3.Абсолютна величина добутку дорiвню? добутку абсолютних величин
спiвмножникiв; |хуz|=|х|·|у|·|z|
4.Абсолютна величина частки дорiвню? частцi абсолютних величин дiленого i дiльника; |х/у|=|х|/|у|
Останнi двi властивостi (iз означення обсалютноi величини.
ЗМIННI I СТАЛI ВЕЛЕЧИНИ
Змiнною величиною назива?ться величина, котра прийма? рiзнi численнi значення. Величина, численнi значення яко? не змiнюються назива?ться сталою величиною.
Означення. Сукупнiсть всiх численних значень змiнно? величини назива?ться областю змiнювання цi?? змiнно?.
Промiжком або iнтервалом назива?ться сукупнiсть всiх чисел х, що мiстяться мiж даними числами а i в. Якщо промiжок замкнений, то його називають (а,в(. Промiжок може бути напiвзамкненим (а,в(. Замкнений промiжок носить назву вiдрiзка. Околом дано? точки х0 назива?ться довiльний iнтервал (а,в), що мiстить цю точку усереденi себе.
Значення змiнно? величини можуть бути безперервними (iнтервал) або дискретними (точки).
ФУНКЦIЯ.
Означення 1. Якщо кожному значенню змiнно? х, належащому деякiй областi вiдповiда? одне певне значення друго? змiнно? y, то y ( функцiя вiд х, або в символiчному запису, y = f(x), y = ((x) i т.п. х - назива?ться незалежною змiнною або аргументом.
Означення 2. Сукупнiсть значень х, для котрих визнача?ться значення функцi? y в силу правила f(x), назива?ться областю визначення функцi? (або областю iснування функцi?).
Iнодi поняття в означеннi функцi? допускають, що кожному значенню х, належному деюкiй областi, вiдповiда?, а декiлька значень y. В цьому випадку функцiю називають многозначною, на вiдмiну вiд означення ранiше функцi?, котру називають однозначною.
В подальшому ми будемо розглядати тiльки однозначнi функцi?.
ВЛАСТИВОСТI ФУНКЦII.
а( Монотоннiсть
Ф-я f(х) назива?ться зростаючою,якщо для ( 2-х точок х1 i х2 iз областi визначення f(х) таких ,що f(х),f(х)>f(х)
Ф-я f(х) назива?ться сподаючою,якщо для ( 2-х точок х1 ? х2 ?з област? визначення f(х) таких , що f(х1)< f(х2)
Зростаюч? , сподаюч? , незростаюч? , несподаюч? функц?? назива?ться монотонними.
б) Парн?сть
Функц?я f(х) назива?ться парною, якщо для ( х ?з област? визначення функц?? f(-х)= f(х) .
Граф?к парно? функц?? симетричний в?дносно ос? OY.
Функц?я f(х) назива?ться непарною, якщо для ( х ?з област? визначення функц?? f(-х)= -f(х) . Граф?к непарно? функц?? симметричен в?дносно початку координат.
в) пер?одичн?сть
Функц?я f(х) назива?ться пер?одичною з пер?одом l, якщо для любих х ?з ?? област? визначення справедливе р?вняння f(х) = f(х ( l).
Прикладом пер?одичних функц?й ? тригонометр?чн? функц??: sinx, cosx, tgx, ctgx.
Способи завдання функц??:
1. Табличний
2. Анал?тичний
3. Граф?чний
4. За допогою функц?онально? шкали.
Складна функц?я.Неявно задана ф-я.
Якщо функц?я f в?добража? множину Е вЕ1,а функц?я F в?добража? множину Е1 в множину Е2 , то функц??ю Z=F(f(х)) називають функц??ю в?д функц??,або складною функц??ю,або суперпозиц??ю f i F.
Можлива складна функц?я, в утворенн? котро? беруть участь n функц?й:
z= F1(F2(F3(...(Fn(x))...))).
Ми розглядали функц?? в?д одн??? зм?нно?. Але можно розглядати також функц?? двох трьох ? взагал? n зм?нних.
Функц?я в?д одн??? зм?нно? може бути задана неявним засобом за допомогою р?вност? F(x,y)=0, (*)
де F - ? функц?я в?д двох зм?нних x ? y.
Таким чином, Е ? множина вс?х чисел х, кожному ?з котрих в?дпов?да? непуста множина У. Цим визначена на множен? Е деяка функц?я У= (х) в?д х, взагал? кажуч? багатозначна.
В такому випадку кажуть що функц?я ( визначена неявно за допомогою р?вност? (*). Для не?, очевидно, викону?ться тотожн?сть:
F(x, ((х))(0
По аналог?? можливо також визначити функц?ю х=((у) в?д зм?нно? У, визначену неявно за допомогою р?вност? (*). Для не? викону?ться тотожн?сть:
F( (у),y)(0.
Функц?ю х=((у) називають зворотньою по в?дношенню до функц?? у=((х).
Класиф?кац?я функц?й.
Основними елемантарними функц?ями ?:
1. степена; у=х(, де ( - д?йсне число; де (-дiйсне число;
1. -((<х<+(; (-цiле додатн? число (1-3)
2. (-цiле вiд'(мне чiсло (4)
3.(-дробно-рацiональнi числа (5,6)
2.показникова: у=ах ,де а-додатн? число ,(а(1);
3. логарифмiчна : у=logах , х>0.а(1, (а>0);
4. тригонометричниi функцi?; у=sinх, у=cosх, у=tgх, у=ctgх, у=secх, у=cosecх.
5. Оберненi тригонометричнi функцi?
у=аrcsinх, у=arccosх, у=arctgх, у=arcctgх,
у=arcsecх, у=arccosecх.
Означення . Елементарною функцi?ю назива?ться функцiя, котра може бути задана формулою виду у=f(х), де праворуч сто?ть вираз ?з основних елементарних функц?й ? сталих за допомогою к?нцевого числа операц?й додавання , в?дн?мання, множення, д?лення ? взяття функц?? в?д функц??.
Елементарн? функц??-це функц?? задан? анал?тично.
Алгебра?чн? функц??.
1.Ц?ла рац?ональна функц?я або многочлен у=а0хn+a1xn-1+...+an, a0,a1,...,an-стал? числа, котр? називаються коф?ц??нтами, n-ц?ле нев?д'?мне число.
2.Дробно-рац?ональна функц?я
у=(a0xn+a1xn-1+a2xn-1+...+an)/(b0xm+b1xm-1+...+bm)
3.?ррац?ональна функц?я
Якщо в прав?й частин? формули у=f(x) проводяться операц?? додовання, в?дн?мання, д?лення ? возведення в степень з рац?ональними нец?лими показниками, то функц?я у в?д х назива?ться ?ррац?ональною.
Перетворення граф?к?в.
Нехай ма?мо граф?к функц?? у=f(х).
1) у= - f(х)-симетричний в?дносно ос? Ох.
2) у= (f(х)(-прийма? т?льки